ヒルベルト・プログラム 完全な数学を目指して・・・その後 (2/7章)
ヒルベルト・プログラムとは、
「数学は完全無欠でなければならない。
その実現の為にはまず最初に、矛盾の一切出ない完璧な基盤システムを考え、
きちんと整備しておくべきだ」
との提唱です。
1900年代と言えば数学の中でも激動の時代。
乱暴に言ってしまえば〜1800年代までは
数学とは
「物理学的な問題、工学的な問題、パズル的な問題、○○的な問題を解くために、数学を使う」みたいな
問題は外部から与えられ、それを解くためのツールとしての
数学が考えられてました。
1900年代〜は数学の為の数学。
数学者が数学の中で未解決な問題を探し、
他の数学者がそれを解いてゆく。
そして
未解決問題が提出される → 誰かが解く
→ 解いてる最中に新しい未解決問題が見つかる → 誰かが解く
→ 解いてる最中に新しい未解決問題が見つかる → 誰かが解く
→ 解いてる最中に新しい未解決問題が見つかる → 誰かが解く
→ 解いてる最中に新しい未解決問題が見つかる → 誰かが解く
→ 解いてる最中に新しい未解決問題が見つかる → 誰かが解く
→ 解いてる最中に新しい未解決問題が見つかる → 誰かが解く
・・・・
を延々と繰り返して行った事で
数学は一気にディープになった。
次々と新しい研究・ジャンルが花開いて
数学の幅が100倍（体感比）ぐらいに増えた
一番激しかった時代だと思います。
ただその一方で・・・・
- 上記、未解決問題の発掘が止まらない。
誰か状況を整理してくれ。
- 未解決問題が多すぎる。
その中でも重要な問題と、どうでもいいような問題。誰か優先順位をつけてくれ。
出来るだけクレバー。世界最強ランクの数学者が船頭になった方がいい。
- 発掘が深すぎる。
マニアックになりすぎて自分以外の誰も理解できないし、誰も論文を読んでくれない。
- ん？ 何かがおかしい。
誰かどこかで間違えてないか？ どこで間違った？
など、あまりにも急速に研究を進めすぎた弊害が
多々出てきました。
そこでヒルベルトの登場です。
彼はこのややこしすぎる現況を整備し、方針を提唱しました。
それがヒルベルト23の問題ですね。
とりあえずヒルベルト23未解決問題が最重要だから、
そこへみんな向かえばいいんじゃないかと。
それにより問題A〜Cは一応落ち着きました。
さて問題はD。
これはやや異質です。
具体的にいくつか例を挙げると：
当方のコラムでも取り上げた
など。
数学の研究がディープになるほど
なんだか不可思議な問題がたくさん出てきて、
あちこちで
「・・・ん？ これ・・・正しいの？ いま本当に合ってる？」
みたいな変な空気が流れ始めました。
特に「選択公理」。
「与えられた集合の族に対し、各集合から適当な要素一つを選択し、新しい集合を構成する事は常に可能である」
これは本当にわからない。^^A;
直感的には。多分・・・合ってる・・・ような気はするけど。保証がない。
もしかしたら超エクストリームなケースでは矛盾が発生するかもかも。
もし矛盾があったら選択公理を使う論文は全部おじゃん。
って微妙な例がたくさん出てきた。
さすがに危険。
今立ち止まって、
足場を固めて、数学のルールをしっかり整備しなくては。
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