コーエンの強制法と連続体仮説の否定モデル 第7/11章
第2ステージ。
いよいよ小数の存在証明に乗り出します。
まず。
整数界の住人は、頭の中で、適当な＜整数の外にある数＞「α（わかりやすい為に例を与えるとα＝3.1）」を仮定します。
はい、これで小数の存在証明：第一の条件「整数ではない数字の存在を（整数世界の中から）証明する。」はクリア！
・・・こんな事でいいのかよ！って、超あっさりなんですが^^A;
それでいいんです。
＜整数の外にある数＞を頭の中に思い浮かべる事自体は本人の自由ですから。
身も蓋もない話ですが・・・
次に整数界の住人が、頭の中で、適当な＜整数の外にある数＞「β（例：β＝2.6）」を仮定します。
整数世界に住む彼らには「小数」の存在を知りません。
ですが、その存在について仮に「α、β」などと呼んで
『α − β』の計算式、およびその答えを考察する事は勝手にできるのです。
整数世界の住人にとってはαとβの値や、その意味は決して理解できませんが、
それでも
1）もし「上の世界で『α＞β』が成立する」ならば、『α − β』の答えは上の世界で『0より大きい』と結論が発生するだろう）
2）もし「上の世界で『α＜β』が成立する」ならば、『α − β』の答えは上の世界で『0より小さい』と結論が発生するだろう）
以上2ケースの内のどれかが当てはまる。
ただし、我々整数世界の住人にとってはα＞βもしくα＜βを判定する術がないので
どちらのケースが上の世界で正しくなるのかはわからない」
などと考察する事はできますし、
それは理論的に正しい事実を言及しています。
ここで第三の小数δ（例：δ＝4.5」を投入します。
そして例えば計算式「α − δ」を『整数世界』で考えると、同様に
1）もし「上の世界で『α＞δ』が成立する」ならば、『α − δ』の答えは上の世界で『0より大きい』と結論が発生するだろう）
2）もし「上の世界で『α＜δ』が成立する」ならば、『α − δ』の答えは上の世界で『0より小さい』と結論が発生するだろう）
〜などと考察する事ができます。
そしてこのときに整数世界では
α＞β、かつα＞δならば → 「『α − β』は0より大きい、『α − δ』は0より大きい」
α＞β、かつα＜δならば → 「『α − β』は0より大きい、『α − δ』は0より小さい」
α＜β、かつα＞δならば → 「『α − β』は0より小さい、『α − δ』は0より大きい」
α＜β、かつα＜δならば → 「『α − β』は0より小さい、『α − δ』は0より小さい」
などと「考えられる上の世界の様相」が4ケースに分岐してます。
実際にはα＋β、α＋δ、β＋γ、β−δ
など他の計算式もあるので本当はもっと増えますが。
しかしそれらも結局は
「もし〜ならば、 → 〜が成立する」
で分岐させて、全てのパターンを考慮する事で
同じように対処できます。
この調子で第4、第5、第6、・・・の小数を整数世界に投下して
どんどん数を増やしてゆけます。
それに従って整数世界の方では
「もし〜ならば、 → 〜が成立する」算の数が
がどんどん増えてゆきますが
ただ数が多くなるだけで
全パターンの網羅して全パターンの分岐を作ってればいっこうに問題ありません。
こうして小数をどんどん追加してゆけば
整数世界の中にも小数を作れるんです！
そして、小数同士の演算についても
「もし〜ならば、 → 〜が成立する」で
仮定しておくことで計算は済んだ物としておきます。
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