コーエンの強制法と連続体仮説の否定モデル 第3/11章
次に軽く無限についてのおさらい。
以前にも
無限にも大きさのランクがある！
で一度書きましたが、
無限にも大きさのランクがあって
例としては
ω0＝可算無限＝自然数・整数・小数などの個数
2ω0＝非可算無限＝無理数・実数・虚数・複素数などの個数
などがあり、
大きさ的には
ω0 ＜ 2ω0
が成り立ちます。
ゲーデルは
ω0と2ω0の間には中間のサイズの無限は存在しないと考え、
その事を「連続体仮説」と呼びました。
要するに
ω0の次に大きい、人間に構築できる最小サイズの無限には2ω0が来るので、
ω1＝2ω0と呼称し、
ω0とω1の間には他の無限はないと主張する説です。
以降、このコラムではω1と書かれた時は
ω1＝2ω0として話を進めます。
（正確には間違いなのですが・・・便宜上。数学でも普通はω1＝2ω0で話は通じます。）
ゲーデルの連続体仮説は正しいです。
現代数学の見地から見ると
連続体仮説には（相対的）矛盾が含まれていない事が判明してますので
「ω0とω1の間には他の無限はない」説は成立します。
ただその一方、
コーエンはその反対である
「ω0とω1の間には他の無限はある」
を証明してしまいました。
連続体仮説の肯定と否定の両方が成立するわけになるんですが
そこは問題ないんですね。
連続体仮説は数学の標準枠組み（ZFC公理体系）とは独立していますので。
ZFC公理体系＋連続体仮説は成立する
に矛盾はないし、
ZFC公理体系＋連続体仮説は成立しない
も矛盾なしで
どちらを採用しても矛盾は発生しないんです。
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