コーエンの強制法と連続体仮説の否定モデル 第4/11章
コーエンの強制法、及びその成果の一つである
「ω0とω1の間に中間サイズの無限は存在できる」
を例え話で説明します。
これは言うなら・・・
「整数の世界に住んでいる住人の視点から、
整数と＋−演算だけを使い、
小数の世界の存在を証明せよ」
みたいな問題です。
整数の世界の住人とは、
0、1、2、3、4、・・・および−1、−2、−3、−4、・・・の数を使える人たちの事です。
そして使える数は整数オンリーで、それ以外の数（小数、無理数、虚数）などは禁止されています。
そして彼らは＋と−の演算が使えます。
例：
1＋1＝2
9−6＝3
5＋7＝12
ルールはシンプルにこれだけ。
「整数」および「＋−演算」のたった二つだけです。
この状態からコーエンは「小数の世界」が存在してる事を示そうとしました。
・・・・。
これは結構、どころかほとんど不可能に思える難題です。
というのもさっき見たとおり
1＋1＝2
9−6＝3
5＋7＝12
整数同士で＋−を行う限りは
答えは常に整数となるので
決して小数を作り出す事ができないからです。
「割り算」や「√を取る」などの演算を使わない限りは
決して整数世界の外に出れません。
ここで読者の中には
「方程式：x ＋ x ＝ 1 を満たす答えを探せばいいじゃないか」
と思われる方もいるかも知れませんが、
それもNGです。
整数世界の住人は割り算を使えませんから
x ＋ x ＝ 1
2x=1
の問題を解けません。
なぜなら彼らの世界のルールでは、数字は必ず整数でなければならないので
2x ＝ 1
と言う問題を与えても
「世の中にある全ての数を探したけれど、x ＋ x ＝ 1を満たすxは（整数世界の中には）存在しなかった。この方程式は解を持たない」
と返されて失敗に終わります。
いやはや。
このように「整数」および「＋−演算」の縛り条件がある限りは
絶対に小数は作り出せません。
ぜーーーーっっったいに無理に見えますが、
ところがこの超難題にもほんの僅かな抜け道があり、そこを探して論破し
みごと（整数世界の中から）小数の存在証明を行ったのが
コーエンの強制法です。
だから凄いんですね。
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