数学最強キャラ考察スレ 考えられる限りの、最大に巨大な物体を作る。(4/10)


レベル3 実数無限大:ω1


無限と言えばデカい数ですから、
それよりも上なんてあるのか?
と思うかも知れませんが。

いや案外あります。


カントールが1900年頃に
2 > ∞
と言う原理を発見し、
無限にも大きさのランクがある事が知られました。


私も以前のコラム無限にも大きさのランクがあるで紹介しました。



この2とはどんな形かと紹介すると、

∞が全ての自然数をコレクションした物。つまり
 ∞ = {1,2,3,4,5,・・・・}
とすると

次に∞の全ての要素に対してON/OFFスイッチを設置し、

1 
2 
3 
4 
・・・

こいつらを適当にパチパチして、
ONが点灯してる要素を取り出して
一つの列を作ります。

例:
1 
2 
3 
4 
・・・
→ {1,3,4,・・・}

そしてこのパチパチを、
全ての組み合わせで試し、
結果を全てコレクションします。
(だからオン/オフの2つの組み合わせを、ωに無限個並べるから2ωって形になる)



具体的には
2ω =
{
}
のような形になります。
これが2です。

対角線論法により
 2のサイズ > ∞のサイズ
が証明されます。







さて無限が二つ出て来てしまった為に
今後は両者を区別するために
  整数無限大 = ∞ = ω = ω0
 2^ω = 実数無限大= ω1
と言う言葉を使います。


それでは、
ω1を超える巨大なサイズの物体はあるか?
 → あります。


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