バナッハ・タルスキーのパラドックス 第4章
本番スタート。
正方形 ＝ 正方形＋正方形
を導きます。
その為にはまず「有理数加算による同値フィルター」と言う物を導入します。
これについては実は以前のコラムで書いたことがあります。
測度論と、面積が測定できない不思議な図形の話 - 4の、
「正方形を有理数加算による同値関係フィルターで分解して[0,1]=Σ∞Qn」
です。
ここでも全く同じ物を使うので
コピペですみませんが測度論と、面積が測定できない不思議な図形の話 - 4の
ページを読んで復習しておいてください。
このフィルターにかかると
単位正方形＝Q1＋Q2＋Q3・・・＝Σ∞Qn
で表現できます。
（以下、正方形＝単位正方形の事として用語を省略します）
そして仮にQ1＋Q2＋Q3・・・を二つに割って、
図形A＝Q1＋Q3＋Q5・・・
図形B＝Q2＋Q4＋Q6・・・
としてみましょう。
正方形＝Q1＋Q2＋Q3＋Q4＋Q5＋Q6・・・
ですから、
正方形＝図形A＋図形B
に分割されてる事になります。
ここからが議論の本質です。
注意して流れを追ってください。
まず無限ホテル2問題の「奇数番号空き」パターンを思い出します。
あの時は「2n号室の住人にn号室に移って貰う」操作によって
空いた1号室には2号室の住人が入るので1号室が埋まり、
空いた2号室には4号室の住人が入るので2号室が埋まり、
空いた3号室には6号室の住人が入るので3号室が埋まり、
空いた4号室には8号室の住人が入るので4号室が埋まり、
・・・
全ての部屋が満室になりました。
これと同じ事を図形Bに適用すると
図形B＝Q2＋Q4＋Q6・・・
「Q2nの住人にQnにスライド移動して貰う」操作によって
Q1にはQ2がやってきて、
Q2にはQ4がやってきて、
Q3にはQ6がやってきて、
Q4にはQ8がやってきて、
・・・・
で、
図形B＝Q2＋Q4＋Q6・・・
スライド結合（図形B）＝スライド2→1（Q2）＋スライド4→2（Q4）＋スライド6→3（Q6）・・・
＝ Q1＋Q2＋Q3・・・・
＝ 正方形
が出てくるんです。
さらにスライド結合（図形B）と言うのは、
図形Bの各々の要素（Qn）をスライド移動させ、寄せ集めただけで、
点そのものは増やしていません。
全部自分の持つパーツから寄せ集めただけなので
点の増加は全くないんです。
無限ホテル2と論理は同じです。
結局図形Bを「各パーツをスライドし、寄せ集める」。
ただそれだけの操作で
図形B → 正方形
に変形させる事ができました。
同様の議論で
図形A → 正方形
変形も可能。
ところが
正方形＝図形A＋図形B
だったので、
結局これは
正方形 → 正方形＋正方形
に変形される事になり、
これこそが
「正方形を分割して、スライド移動させた後に結合したら、正方形が二つに増殖してた」
です。
さらに驚くべき事なのですが
実はここ「騙し」のトリックはありません。
怪しい論法でいつのまにか読者を
煙に巻いたとかそういうインチキ、似非パラドックスとは訳が違うのです。
だってこの「正方形を分割して、スライド移動させた後に結合したら、正方形が二つに増殖してた」
自体はただの「図形の分割」、「図形の移動」、「図形の結合」
などの純粋な図形操作であり
不正の入る余地はありませんから。
本当に騙しはありません。
しつこいですが
正方形を分割して → パーツ単位でスライド移動させ → 結合したら → 正方形が二つに増えてた
は数学的には疑いようのない真実。
いったい何がどうなってるんでしょうか。
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