数とは何か。数学V宇宙の脊髄を自然数が走る。 第1章
現代数学の基礎は「集合論」と言う物をベースに作られています。
数学のすべては元の元の元の・・・・をたどって行けば
必ず集合論に行き着きます。
例えば以前書いた「ガロア理論と、5次元方程式の解法の不可能性のお話
だと
5次元方程式の解法はなぜ存在しない（ルートと四則演算を使うだけの表現じゃ書けない）？
についての証明を書きました。
簡単にまとめると「五次元方程式のガロア群はS5を作る。S5→A5は〜」
が理論のキモに当たるわけですが、ここで数学で「群」と呼ばれる物が出てきました。
群とは何か。
群とは『集合』＋以下の性質を持つ演算・によって構成されます。
- 単位元eを持つ。(ヨe:∀g∈G g・e=g)
- すべての元は逆元を持つ。(∀g∈G ヨf:g・f=e)
- 演算は群の集合内で閉じている。（∀f,g∈G f・g∈G）
- 結合則を持つ。（∀f,g,h∈G (f・g)・h=f・(g・h)）
と、ここで『集合』と呼ばれる物が出てきました。ヒット。
他には別の超有名な数学の問題と言えば
1＋1＝？
とか。
答えはもちろん2。
これはまあ直感的な答えですがもし
1＋1=2 を証明せよ。
と言われたらどうやったらできるのでしょうか。
余りにも自前過ぎて「明白」と言う他はないような気もしますが
・・・実はあるんですね。これがまた集合論。
「数の世界、および法則」と言うのは「集合の世界、および法則」の一部分であり、
数とは集合の特殊なケースとして成立するので
数よりも下位の理論、集合論を使えば
1＋1=2
の証明も作れるんです。
（あまりにも専門的な話になりすぎて集合論の導入や用語の定義、そして証明まで数十ページは必要になるのでここではしませんが）
では逆に「1+1=2」と言う物を公理として与えられたとして、
そこから集合論は証明できるでしょうか。
答えはできません。
『集合論→「1+1=2」』は証明できるのですが
『「1+1=2」→集合論』は成立しないのです。
このように集合論を使って他の理論を証明する事はできますが、
他（集合論より上位の）の理論を使って集合論を証明する事はできません。
だからこそ集合論は数学での根幹の根幹、一番下の原理に位置していると言えましょう。
次にこの集合とは何かを説明してゆきます。
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