無限にも大きさのランクがある！2（2009/01/01)
例として
A＝｛い、ろ、は｝
B＝｛に、ほ、へ、と｝
としたときAとBのどちらが大きいでしょうか。
まず一つの方法はそれぞれの個数を数え「Aの個数は3」、「Bの個数は4」→「よってBの方が大きい」と
数を数える事です。もちろん正解です。
しかし大きさを比較するにはもう一つ方法があってそれは
AとBの間で1：1のマッチング対応を作り
A＝｛い、ろ、は｝
↑ ↑ ↑
↓ ↓ ↓
B＝｛に、ほ、へ、と｝
（マッチング方法はこの順序でなくても何でもいい。1：1であれば。）
結果、最後にBに要素が一つ余ったので「Bの方がAより大きい」とも言えます。
これが1：1対応法です。
別の例を出すと
A＝｛○、△、□｝
B＝｛■、●、▲｝
としたときには
A＝｛○、△、□｝
↑ ↑ ↑
↓ ↓ ↓
B＝｛■、●、▲｝
となり今度は「1：1対応を作り、どちらも余りが出なかったので個数は同じ」と言えます。
何という自明な事でしょう。(^^A;
当たり前です。
AからB、BからAへの1：1対応が存在すれば個数は同じです。
または
どちらかの個数が大きいとすれば、1：1対応の後に大きい方に余りが出るも成立します。
少なくともこれらの論法に間違いが存在していないのは
誰しも疑いようのない事実だと思います。
・・・・
・・・
・・
・
「当たり前じゃん」。
あっ、いまそう思いましたね？;^^)
そうですそれが重要です。
直感的に考えて疑いようのない事実だからこそ意味を持つんです。
それを踏まえた上で前ページの無限集合に戻ってみましょう。
A＝｛1、2、3、4、5、6、7、8、・・・・｝
B＝｛ 2、 4、 6、 8，・・・・｝
とします。
この時、一見してAの方がBより二倍個数がありそうに見えますが
先ほどの「1：1対応を作り、どちらも余りが出なかったので個数は同じ」をこのケースに適用してみます。
そこで少し順番を詰めてこうしてみましょう。
A＝｛1、 2、3、4、 5、 6、 7、 8、・・・・｝
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
B＝｛2、 4、6、8、 10、12、14、16、・・・・｝
このようにn←→2nと言う関係を結べばお互いの全てのメンバーの間に1：1対応があり、
どちらにも余りは出ません。
余りが出ない、それはすなわちAの全ての要素にはBの対応する要素があり、
（例：Aの3→Bの6、Aの100→Bの200、Aの3567→Bの7134、・・・・）
Bの全ての要素にはAの対応する要素がある
（例：Bの1000→Aの500、Bの8→Aの4、Bの9874→Bの4937、・・・・）
と言う事です。
なので、Aの方がBより密度が倍あり個数も倍にありそうに見えますが
「1：1対応を作り、どちらも余りが出なかったので個数は同じ」の原則がある限り
実際には同じ個数と言えるんです。
えっ、おかしい？
でもやっぱり直感的にはどう考えてもAの方が2倍大きい？
いえいえそんな事はありません。
それではもし仮に「Aの方がBより個数が大きい」と思うなら
どちらかの個数が大きいとすれば、1：1対応の後に大きい方に余りが出る
を適用し「1：1対応の後にはAの何かが余る」、その余りを反論側が明示的に示さなければいけません。
しかし無理なんですね。
A＝｛1、 2、3、4、 5、 6、 7、 8、・・・・｝
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
B＝｛2、 4、6、8、 10、12、14、16、・・・・｝
この通りAに余りは一個も出ませんから。
よってAとBの個数は同じと結論づけられるのです。
・・・・
・・・
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・
なんだか狐につままれたような話ですが
カントールの無限ランクの論文が世に出た時には当時の数学者達でさえも
「そんなバカな」と笑った物です。
しかし実際によく検討してみると
奇想天外なアイデアですが展開に論理的な矛盾が見あたらないし
そして反論・反例を誰も出す事ができなかったので
これは正しいと認めざるを得ないとの流れになったのです。
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