「数学コラム 「ヨコ×タテ」「タテ×ヨコ」で面積の変わる不思議な図形5 (2018/01/15)」


R2。つまり二次元平面を
 A={ <xαxβ> : α,β∈ω1,α>β}
 B={ <xαxβ> : α,β∈ω1,α≦β}
としたとき、

Bは

こんな「テレビノイズ」な図形でした。


この時に任意のy'について、
区間H=(x=0~1,y')ついてBに属する点は何個あるでしょうか。


y'は実数なので適当なβを取ればy'=xβ β≦ω0
とインデックス表示できます。

つまり
区間H=(x=0~1,xβ)。

 B={ <xα,xβ> : α,β∈ω1,α≦β}
だったので、
H区間でBに属する点の集合は
 B∩γ={ <x=xα,y' (=xβ)> : α∈ω1,α≦β}

しかしα≦βなので、α≦ω0

だから
 B∩H={ <x=xα,y'(= xβ)> : α≦β≦ω0}

つまりB∩Hは可算無限程度の個数しか点を持っていない。
ルベーグ積分のルール「可算無限程度の個数の点は0と数える」により
H区間に関するヨコ一次元面積
 ∫01 f(x,y')dx =0
となります。
y'は任意。つまりあらゆるyについて上記の式は成立します。

以上の論法により
「ヨコ×タテ」でBの面積を計算すると
0101 f(x,y)dx dy = ∫01 0 dy = 面積0



さて今度はタテを数えてみましょう。


 B∩V={ <x=x'α,y> : α≦ω0,α≦β}

今度は条件が
 α≦ω0、α≦β
であり、
 ω0≦β
を満たすβは非可算無限ある。

ルベーグ積分のルール「非算無限の個数は有意義と数える」により、
V区間に関するタテ一次元面積
 ∫01 f(x,y')dy =1

よってタテ×ヨコで面積を数えると
0101 f(x,y)dy dx = ∫11 0 dx = 面積1


・・・証明終わり!


ふー、長かった^_^;



うーん、この論法は珍しいね。
面積に関する矛盾と言っちゃあ
選択公理を使うパターンが多いのですが。


これも選択公理使っていますが、
もっと本質的には連続体仮説、
つまり
 α<ω1
ならば自動的に
 α≦ω0
が成立する。

それを使えば
実数の総数はω1だけど、
個々の点xを見てる瞬間には
 x = xα α≦ω0
。ω0まではルベーグ積分の上では0になるので、

積分による面積の求め方は
 「『一瞬のyの横幅』をy=0~1」まで積算した物。

 『一瞬のyの横幅』=0
さえ0にできれば

 面積=ヨコ×タテ=0(ヨコ) × y=(0~1)(タテ) = 0

にできる。

図形の面積を測る時はタテ×ヨコ、またはヨコ×タテで「二段階に分けて計測しなければいけない」。
その際に生じる
 0×残り=0
 1×残り=1
みたいな、先頭の順番によって答えが入れ替わってしまう
定義の穴を巧みについてきました。^^;

いやあ。(^_^;
まるでコンピューターにおける
 「セキュリティホール & アタック」
というか。
まあよくもこんなアタック方法を考えつくものです。
 <この論文を最初に発表した人



なおルベーグ積分論的には
 「面積とは、測り方に依存しない図形にのみ適用できる。」
として、こういう「タテ×ヨコ」、「ヨコ×タテ」で値が変わる異常な図形は
面積のアウトプットを受け付けないことで
矛盾の発生を回避してます。

んがっ!ルベーグさんもさすが。( ̄□ ̄;)
こういう事態に備えてきちんと対策を用意してたのだ。

(コラム終わり)



「コミック 難関女子の恋愛参考書 (2018/01/11)」


コミック 難関女子の恋愛参考書 第01巻を購入。(作者:井冬 良)


女の子が可愛いかったデス。


まんがタイムスペシャル連載。


んー、いわゆる萌えアニメの原作で有名な「まんがタイムきらら」ってのは
実はこのまんがタイム◯◯の一種です。^^;

ただスペシャル系列が置いてあるのは本屋~コンビニ~一般書店など一般的な店
きらら系列が置いてあるのは本屋~アニメショップとかのヲタグッズ店
基本的には両者は共存はしていない。
別居形態なので実は「全く同じ出版社、全く同じ雑誌の系列」とは
結構誰も意識してないのですが。^^;
同じです。はい。

だからまんがタイム◯◯にも、萌え絵柄の漫画は
たくさん載ってるんですね。

きららレーベルが創立される前からあった
元々の萌え系4コマ漫画雑誌がまんがタイムジャンボ/スペシャル/ファミリー・・・で、^^;
その中でも更に萌え特化にスカウトされた作家を集めて
できたのがきららです。




「数学コラム 「ヨコ×タテ」「タテ×ヨコ」で面積の変わる不思議な図形4 (2018/01/08)」


さてR2。つまり二次元平面を
 A={ <xαxβ> : α,β∈ω1,α>β}
 B={ <xαxβ> : α,β∈ω1,α≦β}
とします。

この時に

 A∪B = R2 (A or B=R2。つまりR2上の点はAかBのどちらかに属している。)
 A∩B=0 (A and B=0。つまりAとBの共通要素はない)
が成立してるので、AとBはR2平面を綺麗に二分割しています。

Bが問題の「 『ヨコ×タテ』「タテ×ヨコ」で面積が変わる」図形です。
(証明は次回やります)


さてこのB。
実際どんな図形かと言うと・・・難解。(^^;

イメージとしてはテレビノイズがとても近い。


実際平面上の点(x,y)がBに属するかどうかは
ほぼ1/2のランダムになるので、
ランダムで構成されたテレビノイズとほぼ同じ見た目になるのは
ごく自然な現象です。

ただテレビノイズとの違いは、Bの成分/濃度が非常によく研究されてて
 『ヨコ×タテ』でBの数を数え上げると面積が0、
 『タテ×ヨコ』でBの数を数え上げると面積が1になる、
ものすごいヘンテコな性質を持つように、定義が構築されているんですね。^^;

次回そこを証明します。
(続く)



「数学コラム 「ヨコ×タテ」「タテ×ヨコ」で面積の変わる不思議な図形3 (2018/01/05)」


前回のノートで
 R = 全ての実数の集合 = {xα:α<ω1}
と書けることがわかりました。

つまり
1 = x0
Π = x1
√2 = x2
0.7 = x3
....
のように、総ての実数には番号(もしくは序列)をつけて
リスティングが可能と言うことです。


もちろん実数の総数はω1=非可算無限と膨大にあるので 自然数(1,2,3...)ではラベルが足りません。

そこで
√3 = xω0
のように、どこかでラベルにω0=可算無限を導入しなければなりませんが。^^;




さて先程の例でしたが
1 = x0
Π = x1
√2 = x2
0.7 = x3
...
と割り当てていたように、この
 「各実数 ←→ それに割当てられる番号」
は大きさの順とは全く関係ありません。

原理的に言えば
  『適当な実数を一個つまみ、番号を割り当てる。』
この作業をω0=無限の時間を使い、
ひたすら割り当てていけばリスティングはいつかは完了すると言うことです。

なので「実数 ←→ 番号」への変換はほぼランダムになります。
ま、番号は何でもいいんです。

重要なのはどのような実数でも、
 「無限の待ち時間があれば、
 いつかは呼ばれ、
 呼び出し番号を振り当てられる時が来る

と解釈しましょう。

なぜなら
 R = 全ての実数の集合 = {xα:α<ω1}
と書いたよう、
 α<ω1
これは
 α≦ω0 (=可算無限)
と同等であるから。
だからαは可算無限の待ち時間があれば呼ぶことができるのである。

(ここでCH。Continuum Hypothesis。連続体公理を採用。
 数学界では一般的にCHはありと考えられる。
 その方が理論体系がシンプルなり、余計な手間が減るので。)

(続く)