ぼやき

無限にも大きさのランクがある！1（2009/01/01)

今年のコラムは「無限」の話でも。

去年やった「測度論と、面積が測定できない不思議な図形の話」の中で
可算個（カウンタブル）無限と非可算個（アンカウンタブル）無限が出てきました。
あと日記の中でも「到達不可能基数」とか気になるキーワードを書いたと思います。
これらをできるだけわかりやすいよう解説してみたいと思います。

まず、
結論から言っちゃうとタイトルの通り実は無限にも大きさのランクがあるんです。(^^;

ある無限Aは他の無限Bより個数が大きく、
無限Bの中にある無限の要素を全てかき集めても無限Aの中にある要素の個数には足りない、
そんな奇妙奇天烈な世界があるんです。

多分・・・・これを聞いて普通真っ先に思い浮かべるのは
　A＝｛1、 2、3、4、5、6、7、8、・・・・｝　B＝｛　　2、　 4、　 6、　 8，・・・・｝ のような物で「AはBの二倍大きい無限である。」のような例だと思います。

・・・・その発想は至極当然なのですが残念不正解です！（＞＜）
この場合AとBの無限サイズは同じとされます。

本格的な無限の研究はカントールによって始まり
西暦1860年代に無限のランクの考え方が発見されました。
キーは「1：1対応」と呼ばれる物です。

次の章から具体的に例を挙げてながら見てゆきましょう。

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