「数学パズル ボルツァーノのパズル 解法編 （2023/08/12)」


ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの問題：
　　0.0～1.0の間に、∞個のランダム数値を用意したら、
　　
　　１．　とある区間[α,β]内に∞個の数値が集まってるゾーンが必ず出てくる。
　　
　　２． そして区間のサイズ、β-αの値は任意の幅まで狭める事ができる。
　　　　(狭めた後でも、区間[α,β]の間には∞個の数値が存在する)
　　
　　３．　究極的にはβ-α=0。つまりα=βまで狭める事によって
　　　　無限の点が収束するポイントがある。
　　　　
　　何故でしょう？






証明編！

・区間をA=[0.0 , 0.5] ,B=[0.5 ,1.0]に二分割する。
　　[0 , 1]の間には∞個の要素があるので、AかBのどちらかは絶対∞個になる。



仮にAが∞個の方だったとする。



・区間をA=[0.00 , 0.25] ,B=[0.25 , 0.50]に二分割する。
　　[0.0 , 0.5]の間には∞個の要素があるので、AかBのどちらかは絶対∞個になる。



仮にBが∞個の方だったとする。

・区間をA=[0250,0.375] ,B=[0.375,0.500]に二分割する。
　　[0.25 , 0.50]の間には∞個の要素があるので、AかBのどちらかは絶対∞個になる。




・・・この二分割を繰り返すことによって、
　　区間[α,β]の幅を任意の幅以下まで追い込めます。
　　なおかつ[α,β]の間には常に∞個の要素がある。
　　


証明完了　□。

素晴らしく、エレガントな解答ですね。


数学ではこれを
　　ボルツァーノ＝ワイエルシュトラス (Bolzano-Weierstrass)の定理
　　　　 ‘every bounded sequence has a convergent subsequence’.
　　(あらゆる有界なシークエンスは、
　特定の値に収束するサブシークエンスを持つ)
と呼ぶ、カッコいい名前がついてます。


わかりやすく言えば。

例えば円周率
　　3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406 2862089...
を10桁ごとに区切って、
[0.0～1.0]の範囲に丸めてやる

0.3141592653
0.5897932384
0.6264338327
0.9502884197
0.1693993751
0.0582097494
0.4592307816
0.4062862089
.....

　　　↓

するとこれらの数列は、必ず
　　[α,α+0.0000000.....1]
のどこか一点αに、
∞個の数値が詰まってる。
そのような収束点が絶対に出てくる。


↑
この結果は結構・・・『意外』ですかね。

「ニ等分システム」を知った後では、
確実に収束するってわかるのですが。

それを知らなかったら、
　収束するか/しないのか。
ちょっとわからないレベルだと思います。
　（だからこそ『定理』として残されてるのでしょう）