「円の面積 πr2の微分が、円周2πrと一致する理由（再録） （2023/02/11)」
数学パズルをしましょう。
円の面積と言えばπr2
円の円周と言えば2πr
小学生でも習う
最も基礎的な数式ですが。
この時、面積をrについて微分すると
d(面積式) /dr
d(πr2) / dr
= 2πr = 円周式
なぜか円周が出てきます。
ま、これだけなら
ただの偶然の一致かも知れませんが。
球の体積は4/3 πr3
球の表面積は4πr2
これまた体積を微分すると
d(体積式) /dr
d(4/3 πr3) / dr
= 4πr2 = 表面積式
なぜか、表面積が出てくる。
多分高校で、微分・積分を習う頃に。
この奇妙な法則性
体積式の微分 ＝ 面積式
面積式の積分 ＝ 体積式
面積式の積分 ＝ 体積式
に気づく方もいらっしゃるのでは
ないでしょうか。
これは偶然ではありません。
理由があるから、必ず
n次元球の体積 → 微分 → n次元球の表面積
になるのです。
さあ、考えてください
・・・
・・
・
解答編
P3
P4
で、あるからして
円の面積式πr2
→ 微分
円周式2πr
となるのです。
あと
球の体積 = 4/3 πr3
ですが。
唐突に出てきた割り算。「/3」はどこから出てきたの？
「球の体積」の微分 = 「球の表面積」
「球の体積」 = 「球の表面積」の積分
「球の体積」 = ∫ 4πr2
「球の体積」 = 4/3 πr3
「球の体積」 = 「球の表面積」の積分
「球の体積」 = ∫ 4πr2
「球の体積」 = 4/3 πr3
∫ r2 = r3/3
・・・実は3次元空間の"3"です。はい。