「17角形とガロア理論 第35章 なぜ解けるのか2 (2022/10/08)」
17角形とガロア理論 第35章 なぜ解けるのか2




なぜ、17角形は作図できて。
13角形や19角形は作図できないのか。
13と17と19。
全て素数なのにどこに違いが出るかと言いますと。
17角形は
17角形 → コア要素16個 → オトモ16個 → AutはG16
これが
G16 → G8 + φG8
G8 → G4 + φG4
G4 → G2 + φG2
G2 → G1 + φG1
一段一段がペア分解。
→ 未知数は2つ、uとvの連立方程式が出現
→ 未知数2の連立方程式を解く過程で2次方程式
これしか出ないから、
全部√で記述できる数が出てくる。
それが根本的な理由です。
一方で13角形や17角形などは
13角形 → コア要素12個 → オトモ12個 → AutはG12
G12 → G6 + φG6
G6 → G3 + φG3
G3 → G1 + φG1 + φ2G1
どこかに必ずトリオ分解が出てくる
→ 未知数は3つ、uとvとtの連立方程式が出現
→ 未知数3の連立方程式を解く過程で3次方程式
そして、3次方程式を解く過程で3乗根。
例えば
2 1/3
のような定規とコンパスでは作図できない数が
出てくるから、
13角形は作図できない。
ユークリッドの時代(西暦-300年)から、
ガウスによる17角形の作図法の発見(1796年)まで。
実に2000年もの長い時間 。
人類は
「17角形は作図不可能
(だって素数だから)」
と、間違った思い込みをしていましたが。
実は、17 角形
この"17、素数"の部分は
作図可能性とはあまり関係がなかった。^_^A;
「n角形-1」のAutグループの構造の方が、
作図可能性を決めていたのです。