「17角形とガロア理論 第34章 なぜ解けるのか1 （2022/10/01)」
17角形とガロア理論 第34章 なぜ解けるのか1
我々は今、17角系の作図方程式
Q(ω) = Q(ω)G1
↑
Q(γ) = Q(ω)G2
↑
Q(β) = Q(ω)G4
↑
Q(α) = Q(ω)G8
↑
Q = Q(ω)Aut(Q(ω)/Q) = G16 (ω17=1)
↑
Q(γ) = Q(ω)G2
↑
Q(β) = Q(ω)G4
↑
Q(α) = Q(ω)G8
↑
Q = Q(ω)Aut(Q(ω)/Q) = G16 (ω17=1)
を解いてる最中です。
そして
ω17 = 1
ω17 -1 = 0
(ω-1) (ω16 + ω15 + ... + ω2 + ω1 + 1) = 0
ω16 + ω15 + ... + ω2 + ω1 + 1 = 0
ω16 + ω15 + ... + ω2 + ω1 = 1
ω17 -1 = 0
(ω-1) (ω16 + ω15 + ... + ω2 + ω1 + 1) = 0
ω16 + ω15 + ... + ω2 + ω1 + 1 = 0
ω16 + ω15 + ... + ω2 + ω1 = 1
を
u = ω1＋ω9＋ω13＋ω15＋ω16＋ω8＋ω4＋ω2
v = ω3＋ω10＋ω5＋ω11＋ω14＋ω7＋ω12＋ω6
に分割するとv = ω3＋ω10＋ω5＋ω11＋ω14＋ω7＋ω12＋ω6
u＋v = -1
u・v = -4
これを解いて
u = α = (-1 ＋√17) /2
を求めました。
だが不思議なのは、
なぜu＆vをこのパターンに分解すると
u＋v、u・vの答えにつき
ωを含まないプレーンな数が出てくるのか。
その理由としては、
φ(u) = v、φ(v) = u
uとvは互いに（G8の外の）オートモーフィズムによって相互変換され、何かしらの多項式f(x)につき
f(u) = 0
ならば
f(φ(u)) = 0
であり、uとvは同じ多項式を満たす。
つまりf(x)は「何かしらの二次方程式」
f(x) = x2 + b・x + c
= (x-u)・(x-v)
= (x-u)・(x-v)
になっている
と言う事実から到来しています。
続く
・・・・
・・・
・・
・
このパートはかなり難しいですね。（汗）
言ってる事は、要するに
「uとvは何らかの数であり、とある二次方程式の解になる」
それだけなんですが。
これまでに習ってきた
グループ/フィールド/オートモーフィズム/ガロア補題/ガロア理論
全ての知識を動員して、
その上にさらに「方程式の解の理論」
を組み立てる。
ガロア理論よりも一歩上の
応用編に入っているので
難易度はもう、本っ当に高いです。（汗）