「17角形の作図問題とガロア理論 （2022/01/02)」


新年数学コラムをします。

今年のお題は・・・・
17角形の作図問題とガロア理論












コンパスと定規だけで様々な図形を作成する
作図問題は、紀元前から存在していて。
当時からすでに
　　3・4・5・6・8・10・12・15・16・20...
角形は作図法は発見されていました。

その一方で
　　7・9・11・13・17・19...
角形。特に素数・角形は「作図不可能」とされていました。

これは実に西暦-300年 ～ 1700年。
2000年の間も数学者達の間でも
ずっと信じられていた学説。

「素数・角形は作図できない」と、誰も疑わなかったのですが。


ドイツの数学者ガウスが、
1796年になんと
17角形の作図法を発見してしまいます。

・・・実は17角形は作図できたのです。




その一方で、13角形や19角形は相変わらず作図不可能で、
(正確に言えば誰も作図法を見つけられなかった)

なぜ「素数17角形は作図可能」なのに、
「素数13・19角形は作図不可能」なのか。

作画できる物と、できない物。
何が違うかは未解明。


その謎が解き明かされたのは1830年。
五次方程式
　　x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx1 + e
の解法を研究をしていたガロアが、

ついに
　　五次方程式の解の√記述不可能性
を発見し、その証明メカニズムは
のちに「ガロア理論」として
知られるようになる。


そしてそのガロア理論によって、
　　n角形の作図可能性 / 不可能性
も説明・証明できるのです。

本稿では、これを解説して
ゆくことになります。


実に、解くのに300年かかった(研究開始 西暦1500年～ 証明発見1800年)
ウルトラ超難問です。


さすがに・・・これは難しい。^_^;

「ガロア理論」の習得難易度は
高校数学 IIIよりも上です。
　(あれをテスト100点取れる人間でも、まだ相当難しく感じるでしょう。)


去年やったTree3の停止性証明の30倍ぐらいかな。


今回はまあ。ハードな内容となりますが
　「17角形の作図」
のみに話と議論を絞れば・・・実は結構いけるかも。



むしろ
　　群論・体論・自己同型写像 Aut(L/K)
への入門編。

なぜ"群論"が 現代数学においてかくも重要な役割を果たすのか

"グループ"の意味と役割と必要性を示す、
絶好の例題かなと
個人的には思います。

レッツゴー