「数学コラム よくわかる！コンパクト性の説明 パート10 （2020/11/07)」
いよいよ
ハイネ＝ボレルの被覆定理
閉集合[0,1]はコンパクトである
を証明します。
もし∞開集合Uが
ブロックX [0,1]を被覆しているのなら (※1)
必ず点{0}を被覆している開集合v0が存在している。
次にv0と接触してる開集合v1を探し、チェーンを延長する。
次にv1と接触してる開集合v2を探し、チェーンを延長する。
次にv2と接触してる開集合v3を探し、チェーンを延長する。
....
これを繰り返してチェーンがもう伸びなくなるまで続けます。
あとは同心円ディスクとほとんど同じ論法。
チェーン長さ = L とし、
L ＜ 1.0 なら被覆ではないから前提(※1)と矛盾だし、
L ＝ 1.0 でも被覆ではないから前提(※1)と矛盾だし、
なのでL ＞ 1.0しかない。
なら L=1+αと記述し、
収束ポイントが1＋αなので、
x ＜1+α の全ての地点は有限ステップで到達可能。
特に
1 ＜ 1+α
なので点 {1}は有限ステップで被覆可能。
つまり、閉集合[0,1]を∞開集合が被覆しているなら、
その中から有限個数の開集合を選んでブロックXを被覆する
選び方が必ずある。
閉集合[0,1]はコンパクトである。
証明終了 □
ブロックX [0,1]を被覆しているのなら (※1)
必ず点{0}を被覆している開集合v0が存在している。
次にv0と接触してる開集合v1を探し、チェーンを延長する。
次にv1と接触してる開集合v2を探し、チェーンを延長する。
次にv2と接触してる開集合v3を探し、チェーンを延長する。
....
これを繰り返してチェーンがもう伸びなくなるまで続けます。
あとは同心円ディスクとほとんど同じ論法。
チェーン長さ = L とし、
L ＜ 1.0 なら被覆ではないから前提(※1)と矛盾だし、
L ＝ 1.0 でも被覆ではないから前提(※1)と矛盾だし、
なのでL ＞ 1.0しかない。
なら L=1+αと記述し、
収束ポイントが1＋αなので、
x ＜1+α の全ての地点は有限ステップで到達可能。
特に
1 ＜ 1+α
なので点 {1}は有限ステップで被覆可能。
つまり、閉集合[0,1]を∞開集合が被覆しているなら、
その中から有限個数の開集合を選んでブロックXを被覆する
選び方が必ずある。
閉集合[0,1]はコンパクトである。
証明終了 □
ようやく
Kを位相空間とする。
開集合の族Mが集合X全体を覆う時、
X ⊂ UλMλ
MはXの開被覆と言う。
位相空間Kにおいて、
あらゆる開被覆が有限部分被覆を持つ時に
コンパクトと言う。
特に閉集合[0,1]はコンパクトである。
(ハイネ=ボレルの被覆定理)
開集合の族Mが集合X全体を覆う時、
X ⊂ UλMλ
MはXの開被覆と言う。
位相空間Kにおいて、
あらゆる開被覆が有限部分被覆を持つ時に
コンパクトと言う。
特に閉集合[0,1]はコンパクトである。
(ハイネ=ボレルの被覆定理)
我々はようやく
この凄まじい怪文章。 ^_^
を理解することができました。
かなり難しかったですが、
ステップ by ステップ。
問題を小さい単位に分解して、
一個ずつ消化してゆけば
決してそこまで無茶なレベルではなかったと思います。