「数学コラム よくわかる！コンパクト性の説明 パート9 （2020/10/31)」
はい、いよいよ。
ハイネ＝ボレルの被覆定理。
閉集合[0,1]はコンパクトである。
の実証パートに入ります。
まあ実際やってみると
わかるんですが。^_^A;
例えば中心0、半径0.9の開集合ディスクを使って
r1 = 1/2 * 0.9
r2 = 3/4 * 0.9
r3 = 7/8 * 0.9
r4 = 15/16 * 0.9
...
r∞ = 0.9
みたいなシークエンスを作ると、r2 = 3/4 * 0.9
r3 = 7/8 * 0.9
r4 = 15/16 * 0.9
...
r∞ = 0.9
最大でも半径は0.9なので
閉集合ブロック[0,1]の被覆にはなりません。
中心0、半径1.0の開集合ディスクを使うと
r1 = 1/2 * 1.0
r2 = 3/4 * 1.0
r3 = 7/8 * 1.0
r4 = 15/16 * 1.0
...
r∞ = 1.0
r2 = 3/4 * 1.0
r3 = 7/8 * 1.0
r4 = 15/16 * 1.0
...
r∞ = 1.0
ところがディスクは開集合なので、点1.0を含みません。
一方 閉集合[0,1]は点1.0を含みます。
よってこのシークエンスは[0,1]の被覆ではありません。
じゃあ
中心0、半径1.1の開集合ディスクを使うと
r1 = 1/2 * 1.1
r2 = 3/4 * 1.1
r3 = 7/8 * 1.1
r4 = 15/16 * 1.1
...
r∞ = 1.1
これは点1.0を含むので、閉集合[0,1]の被覆になります。r2 = 3/4 * 1.1
r3 = 7/8 * 1.1
r4 = 15/16 * 1.1
...
r∞ = 1.1
・・・ところが実は
r4 = 15/16 * 1.1 ＝ 1.03125
なので、ディスク∞なんていらなかった。
ディスク4枚あれば十分被覆できたのです。
これこそが
コンパクト性の定義：
Kを位相空間とする。
開集合の族Mが集合X全体を覆う時、
X ⊂ UλMλ
MはXの開被覆と言う。
位相空間Kにおいて、
あらゆる開被覆が有限部分被覆を持つ時に
コンパクトと言う。
特に閉集合[0,1]はコンパクトである。
(ハイネ=ボレルの被覆定理)
開集合の族Mが集合X全体を覆う時、
X ⊂ UλMλ
MはXの開被覆と言う。
位相空間Kにおいて、
あらゆる開被覆が有限部分被覆を持つ時に
コンパクトと言う。
特に閉集合[0,1]はコンパクトである。
(ハイネ=ボレルの被覆定理)
この文章の
「あらゆる開被覆が有限部分被覆を持つ」
の意味だったのです！
今回はわかりやすい例として同心円ディスクを使いましたが、
実際はどこをどうやっても同じ現象が発生します。
もし、∞個の開集合Uを使って、閉集合Xを被覆を形成できた時は、
Uの中から有限個数の開集合を選んで
Xの被覆を作る方法が必ず存在するのです。
面白いですね！