「数学コラム よくわかる！コンパクト性の説明 パート8 （2020/10/24)」



いよいよ明かされたコンパクト性の真意。

(コンパクト性以前の)旧来の分類だと
　　集合
　　　　├開集合
　　　　└閉集合
として"横"の概念で我々は集合を捉えていました。

それを、コンパクト性を使うと
　　集合
　　　　└開集合
　　　　　　└コンパクト(閉集合)
として"縦"に配置できる事に数学者達は気づきました。


「真理は可能な限りシンプルであるべきだ」
との法則が科学にはあります。

ルーツが2つある前者の形より、
1つで両方を説明できる後者のほうが、
ほぼ間違いなく優れたモデルと言えます。

つまりこれこそがコンパクト性の存在意義です。

Kを位相空間とする。

開集合の族Mが集合X全体を覆う時、
　　X ⊂ UλMλ
MはXの開被覆と言う。

位相空間Kにおいて、
あらゆる開被覆が有限部分被覆を持つ時に
コンパクトと言う。
特に閉集合[0,1]はコンパクトである。
　　(ハイネ=ボレルの被覆定理)


この怪文章。
数学において非常に重要な概念である「コンパクト性」は、
それを言っていたのですね。^_^;