「数学コラム よくわかる！コンパクト性の説明 パート6 （2020/10/09)」




今回は開集合と閉集合の話ですねー。
　　・壁がなく、演算が用意な開集合。ただしマッピングで性質が変化しやすい。
　　・壁があり、演算が面倒な開集合。ただしマッピングで性質が変化しない。
 2種類のツールを使い分ける事により
数学は大きく発展しました。

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が、開集合と閉集合の研究が進めば進むほど。
研究成果が増えれば増えるほど。

開集合と閉集合の間には互換性が全くない。
お互いの研究成果が分断されてるのが
問題視されるようになってきました。


「性質の違う2種類の集合があった方が便利じゃん」だと思って、
最初に2種類の"ルーツ"を作った弊害が
ここになって出てきたのです。orz




実は・・・このライブラリ分断問題を解決する、超・画期的な発明こそが
コンパクト性なのです！


コンパクト性の定義：
Kを位相空間とする。

開集合の族Mが集合X全体を覆う時、
　　X ⊂ UλMλ
MはXの開被覆と言う。

位相空間Kにおいて、
あらゆる開被覆が有限部分被覆を持つ時に
コンパクトと言う。

特に閉集合[0,1]はコンパクトである。
　　(ハイネ=ボレルの被覆定理)


このウルトラ難解な文章は、それについて語っていたのです^^