「数学パズル ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理 3 （2020/08/16)」
前回の復習：
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの問題：
0.0～1.0の間に、∞個のランダム数値を用意したら、
１． とある区間[α,β]内に∞個の数値が集まってるゾーンが必ず出てくる。
２． そして区間のサイズ、β-αの値は任意の幅まで狭める事ができる。
(狭めた後でも、区間[α,β]の間には∞個の数値が存在する)
３． 究極的にはβ-α=0。つまりα=βまで狭める事によって
無限の点が収束するポイントがある。
何故でしょう？
0.0～1.0の間に、∞個のランダム数値を用意したら、
１． とある区間[α,β]内に∞個の数値が集まってるゾーンが必ず出てくる。
２． そして区間のサイズ、β-αの値は任意の幅まで狭める事ができる。
(狭めた後でも、区間[α,β]の間には∞個の数値が存在する)
３． 究極的にはβ-α=0。つまりα=βまで狭める事によって
無限の点が収束するポイントがある。
何故でしょう？
回答編！
・区間をA=[0.0 , 0.5] ,B=[0.5 ,1.0]に二分割する。
[0 , 1]の間には∞個の要素があるので、AかBのどちらかは絶対∞個になる。
仮にAが∞個の方だったとする。
・区間をA=[0.00 , 0.25] ,B=[0.25 , 0.50]に二分割する。
[0.0 , 0.5]の間には∞個の要素があるので、AかBのどちらかは絶対∞個になる。
仮にBが∞個の方だったとする。
・区間をA=[0250,0.375] ,B=[0.375,0.500]に二分割する。
[0.25 , 0.50]の間には∞個の要素があるので、AかBのどちらかは絶対∞個になる。
仮にAが∞個の方だったとする。
・・・この二分割を繰り返すことによって、
区間[α,β]の幅を任意の幅以下まで追い込めます。
なおかつ[α,β]の間には常に∞個の要素がある。
[0 , 1]の間には∞個の要素があるので、AかBのどちらかは絶対∞個になる。
仮にAが∞個の方だったとする。
・区間をA=[0.00 , 0.25] ,B=[0.25 , 0.50]に二分割する。
[0.0 , 0.5]の間には∞個の要素があるので、AかBのどちらかは絶対∞個になる。
仮にBが∞個の方だったとする。
・区間をA=[0250,0.375] ,B=[0.375,0.500]に二分割する。
[0.25 , 0.50]の間には∞個の要素があるので、AかBのどちらかは絶対∞個になる。
仮にAが∞個の方だったとする。
・・・この二分割を繰り返すことによって、
区間[α,β]の幅を任意の幅以下まで追い込めます。
なおかつ[α,β]の間には常に∞個の要素がある。
素晴らしくエレガントな解答ですね。
このボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理/問題。
「コンパクト性」と言う、大学で習うレベルの難しい概念を
扱ってるのですが。
解答としてはかくもシンプルでエレガントな答えがある。
ひゃー、すっごくよく出来た数学パズルだ。