「数学コラム 巨大な数を生み出す↑記号 （2020/03/21)」
今日のCG ↑(ウエヤ・ジルシ)ちゃん
数学・巨大有限数の理論で出てくる
↑記号について解説。
例えば
10 x 6 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10
のように、a×bは「10が6個、＋で連結されている」表記の
ショートカットと考えることができます。
同じ原理で
10 ^ 6 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
のように、a^bは「10が6個、×で連結されている」表記の
ショートカットと考えることができます。
同じ原理で
10 ↑↑ 6 = 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10
のように、a↑↑bは「10が6個、^で連結されている」表記の
ショートカットと考えることができます。
同じ原理で
10 ↑↑↑ 6 = 10 ↑↑ 10 ↑↑ 10 ↑↑ 10 ↑↑ 10 ↑↑ 10
のように、a↑↑↑bは「10が6個、↑↑で連結されている」状態を
表すショートカットと考えることができます。
同じ原理で10 ↑↑↑↑ 6は「10を↑↑↑で6連結」。
矢印の数が5,6,7...と増えても「10を(前回の↑...↑)で連結」です。
うん、原理としては簡単。
ただのショートカット表記以外の何物でもないので
コレ自体は誰でもわかるのですが。
・・・いざ実際に計算してみると
とんでもない事になるんだわ。^_^;
例：
3↑3 = 3^3 = 3 × 3 × 3 = 27
3↑↑3 = 3^3^3 = 3 ^ 27 = 7,625,597,484,987
3↑↑↑3
= 3↑↑3↑↑3
= 3 ↑↑ 7,625,597,484,987
= 3 ^ 3 ^ 3 ^ (...7,625,597,484,987連結...) ^ 3
ってアホか！ﾉ￣□￣)ﾉ ~┻━┻
3^3^3。三連結の時点で7,625,597,484,987。
3^3^3^3。４連結の時点で
3 ^ 7,625,597,484,987 = 約 10^3,638,334,640,024
宇宙に存在する全原子の数が10^80程度、
将棋の全パターンが10^200、
囲碁の全パターンが10^300、
宇宙には10^3,638,334,640,024に匹敵するような数は全くありません。
3^3^3^3の時点ですでに人類には無理な計算になってるのに、
3↑↑↑3 = 3^3^3^(...7,625,597,484,987連結...)^3
なんて計算できるわけがない！！
当然、
3↑↑↑↑3 = 3 ↑↑↑ 3 ↑↑↑ 3
は3↑↑↑3を遥かに圧倒的に凌ぐ、超ドデカイ数です。
じゃあいったい。
そんな計算不可能なほど巨大な数を↑記号で作る意味って？
・・・あるんです。
グラハム数(ランク8)やTREE3(ランク18)など、
3↑↑↑↑3を遥かに凌駕する巨大サイズの物体が
数学パズルの中には登場します。
そのサイズを記述するための中間段階として、↑記号は発明されました。
そういうわけで。
↑矢印、および3↑↑↑↑3数などは
巨大有限数の理論としては一番下(ランク7)。
最小クラスに属するんですが
それでも人間にとってはあまりにも巨大すぎて
人間が計算を諦めるサイズとなります。^^;
人間が計算できるのはせいぜい10^100程度(ランク2)まで。
これより上のランクにアクセスできる者は・・・神だけです。