1+2+3+・・・・ = -1-12 日記

「数学界で近年見つかった、TREE(3)と言うウルトラ巨大な数 9 （2019/02/03)」

数学界で近年見つかった、TREE(3)と言うウルトラ巨大な数についてのお話9　ランク18の世界

いよいよ・・・ついに来た。ランク18。

言ってみれば、ランク16＝星。ランク17＝銀河。ランク18＝宇宙。
ぐらいでしょうか。

あれだけ大きいと思っていたランク16～17が、
宇宙を前にするととても小さ～い。
いくらこいつらを集めた所でランク18には到達できない。
まるで、お話にならない。それぐらいのサイズ差があります。

復習：
我々はランク17でシンボル・シークエンスを見ました。

そしてシンボル・シークエンス
　　Φ₁=ε、Φ₂=ζ、Φ₃=η,...
の中で、
　　Φ_α 　　α=巨大な数
可能な限り巨大なインデックスにアクセスする事で、
大きな数を作ろうとしています。

例えば
　　Φ₁
　　＜　Φ₁₀₀
　　＜　Φ_1,000,000
　　＜　Φ_{グラハム数}
　　＜　Φ_Φ₀
　　＜　Φ_{Φ_Φ₀}
　　＜　Φ_{Φ_{Φ_Φ₀}}
　　＜　Φ_{Φ_{Φ_{Φ...(ω回).._Φ.₀}}}　＝　Γ₀　＝　ランク17の限界

その考え方はランク18でも同じです。
ただ
　　Φ_α 　　α=巨大な数
αの値がもっと遥かに莫大になる。^^;

どれぐらい巨大かをイメージするには
↓のようにたくさんのランプが並んでるところをイメージしてください。

初期位置は右上から始まって、

前回やったランク17
　　Γ₀ = Φ_{Φ_{Φ_{Φ...(ω回).._Φ.₀}}}
到達限界値まで移動させると、下のランプが一つ点灯します。

そして、到達限界値で得たΓ(ガンマ)₀を
初期値にぶっこんでまた限界まで到達させる
　　Γ₁ = Φ_{Φ_{Φ_{Φ...(ω回).._Γ₀}}}

するとランプが一つ点灯します。

こうして「到達限界値」に達するごとにランプがついてゆきますので・・・
　　Γ_n = Φ_{Φ_{Φ_{Φ...(ω回).._{Γ_n-1}}}}

で！
ここでワープ航法。つまり
　　Γ_α 　　　　α = 巨大な数
にアクセスすれば遠くに行ける。

つまり
　　Γ₁
　　＜　Γ₁₀₀
　　＜　Γ_1,000,000
　　＜　Γ_{グラハム数}
　　＜　Γ_Γ₀
　　＜　Γ_{Γ_{Γ_{Γ...(ω回).._Γ₀}}}　＝　Γ_極大　＝一列目の限界値

みたいにインデックスをすっとばし
　　Γ_極大
なレベルに到達する。

すると！

二列目のランプΓ(1,0)が一個点灯する。
そして一列目のランプは全て消える。

つまり、
　　二列目のランプ1個＝一列目の極大個数
相当です。

で、次はさっき苦労して得た
　　Γ(1,0) = Γ_極大
を初期値に使い
　　Γ(1,1)　＝ Φ_{Φ_{Φ_{Φ...(ω回)..Φ_Γ(1,0)}}}
で限界突破する。

すると一列目のランプが1つ点灯するので、
また
　　Γ(1,n)　＝ Φ_{Φ_{Φ_{Φ...(ω回)..Φ_Γ(1,n-1)}}}
で限界突破させると
一列目のランプが一つ灯る。

こうして二列目ランプ一個状態のまま、
一列目のランプを次々と点灯させてゆき

一列目の極大個数 = 二列目のランプ1個
　　と引き換えに二列目のランプを一つ増やせる。

とんでもない時間がかかりますが、
これを繰り返してゆけば二列目のランプを順々に点灯させてゆくことができる

さらにワープ航法。
　　Γ_(α,0) 　　　　α = 巨大な数
にアクセス。

つまり
　　Γ_(1,0)
　　＜　Γ_(100,0)
　　＜　Γ_{(1,000,000 ,0 )}
　　＜　Γ_{(グラハム数 ,0)}
　　＜　Γ_{Γ_{Γ_{Γ...(ω回).._{Γ_(1,0)}}}}　＝　Γ_(極大,0)　＝二列目の限界値
のように
　　Γ_(極大,0)
にたどり着けば・・・

三列目のランプが一つ点灯します。
その代わり二列目のランプは全て消えます。

つまり、
　　三列目のランプ1個＝二列目の極大
のサイズ相当です。

で、また同じプロセス
　　・一列目のランプ一個　＝　Φ_{Φ_{Φ_{Φ...(ω回)..Φ_{前回までの最大値}}}}
　　・二列目のランプ一個 = 一列目のランプ[極大]相当
　　・三列目のランプ一個 = 二列目のランプ[極大]相当
　　
まで辿り着ければ三列目のランプ一個を灯せる。

これを繰り返してゆけば三列目のランプが点灯してゆくので
極大まで点灯させれば

四列目のランプが一つ点灯する。三列目のランプは全て消える。

つまり、
　　四列目のランプ1個＝三列目の極大
のサイズ相当です。
　　

これを繰り返して
　　4列目、5列目、6列目・・・と点灯させてゆけば・・・

いずれは。いずれは・・・・
　　どこの(x,y)座標のランプでも点灯する時がやって来るので

そこが！

　　TREE(3)
　　= サイズ：ψ(Ω^{(Ω^ω)・ω})
　　= x列目、y行目のランプの位置

ようやく

ようやく

ようやく

ようやく

我々はついにTREE(3)の位置に辿り着きました！！

このとんでもなく巨大な数がTREE(3)の正体です。

　　
このx,yの正確な値は現在の数学でも未解明。
ただこのテーブルのどこか。比較的まともな位置にあるとはわかっています。
　　
「まとも」とは何かと言うと、逆に言うと「まとも」ではないとは、
ランク19の世界で^^;

ランク19サイズ　＝ψ(Ω^{(Ω^Ω)})

テーブルのサイズが大きくなりすぎて
ランク18～程度の数ではアクセスできないほど
(x、y)座標が大きくなる状態です。

　　ランク19 ＞　TREE(3)
　　
TREE(3)は多分そこまで大きくはない。
(推測ですが)おそらくはランク18の範疇に収まっているのではないかと考えられています。

2006年に発見されたTREE(3)ですが
そのあと巨大有限数の研究が進むともっと大きな数も見つかりました。
SCG(13)と言う数がどうやらランク19のサイズを持っているらしいこともわかっています。

次回は感想戦。

なぜ、TREE(3)がここまでのモンスター。
あまりにも非常識で、馬鹿げた、
とんでもないとんでもないとんでもないウルトラ巨大数になってしまうのか。

私個人の見解から解説。

「数学界で近年見つかった、TREE(3)と言うウルトラ巨大な数 9 （2019/02/03)」

数学界で近年見つかった、TREE(3)と言うウルトラ巨大な数についてのお話9 ランク18の世界

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