「数学界で近年見つかった、TREE(3)と言うウルトラ巨大な数 4 (2019/01/06)」


数学界で近年見つかった、TREE(3)と言うウルトラ巨大な数についてのお話 4 ランク表

googologyと言う分類によれば
(googol = 10^100。 宇宙の原子の数=10^80 ですから、「宇宙的スケールを超越した」意味の単位。)

ランクカテゴリ名FGHスケール一例解説相撲スケール
0特になしf11010本の指で数えられる範囲。一般人
1特になしf21,000,000両手じゃ数えられないので、二桁以上を指し示す記法が導入される序の口
2特になしf2(f2)10^10 ~ 10^1,000,0000が増えすぎたので、0の数を示す^記法が導入される

なおこの時点で宇宙の原子の数10^80や将棋の全手数10^220など
人類・宇宙レベルのスケールを全て超える。
ランク3以降は純・数学的にのみ存在する。
序二段
3特になしf2(f2(f2))10^10^1,000,000^の上にも0が増えすぎたので、a^b^c記法が導入される。三段目
4特になし↑と同じ10^10^10^1,000,000a^b^c^d記法が導入される。三段目
5特になしf2(...(4回))10^10^10^10^1,000,000a^b^c^d^e記法が導入される三段目
6Tetrationf2(...(5回))10↑↑10 = 10^(10個)^10^^^^が増えすぎたので、^の数を示す↑(アロー)記法が導入される幕下
7Up-arrowf3(f2(f2))10↑↑↑10 = 10↑↑10↑↑...(↑↑が10個)...↑↑10↑↑が増えすぎたので↑↑の数を表す新しい記号↑↑↑が導入された十両
8Linear omegafω+1グラハム数

G1=3↑↑↑↑3。
G2=3↑...(G1個)...↑3。
G3=3↑...(G2個)...↑3
...
グラハム数=G64
矢印の数↑↑↑↑↑↑...が増えすぎて追いつかなくなったので
↑の数を爆発的に増やすためのタワー構造が導入された。
前頭
9Quadratic omegafω^2具体例なしグラハム数は64階建てのタワー。
64階は低すぎると思ったのか、これを増築して
G64階建て=G(1,64)
G(1,64)階建て=G(2,64)
G(2,64)階建て=G(3,64)・・・のように高さを爆発的に増やしてみたり。色々と増築しまくる。

前頭
10Polynomial omegafω^3具体例なしω^2をω^3レベルまで増やした物前頭
11Exponentiated linear omegafω^ω具体例なしω^nをω^ωまで拡張した物小結
12Exponentiated polynomial omegafω^ω^ω.具体例なしω^ω^ωと^が2個出てくるようになった小結
13Double Exponentiated polynomial omegafω^ω^ω^ω具体例なし^3つ小結
14Triple Exponentiated polynomial omegafω^ω^ω^ω^ω具体例なし^4つ小結
15Iterated Cantor normal formfε = fω^...(64個)...^ω具体例なし^が64個。そのことを示す新しいシンボルεの導入

※ここの64はグラハム数G64から取った一例の数値。何回必要になるかは初期値によって変動する。
関脇
16Epsilonfε(fε)具体例なしfεを作った手順を、fε回繰り返す関脇
17Binary phifε(.....((fε))))) = fζ具体例なしfεをfε回入れ子代入した事を示すシンボルζを導入された大関
18Bachmann's collapsingfψ(1,2,0)TREE(3)fζをfζ入れ子代入すると次のシンボルが出てくる。
それをまた新シンボル回入れ子代入すると次のシンボル・・・・
しまいにはシンボルが増えすぎて手に負えないからいま何番目にいるか(1,2,0)みたいな進法が導入された。
横綱
19Higher computablefθ(x)SCG(13)ψ(a,b,c,d,e,f,...)と拡張してゆき、横幅が増えすぎて手におえないのでそれを超える為の記法が導入された。
現在までに見つかっている最大の巨大有限数
優勝
XXunreadable不明Loader数「TREE(3)程度の文字数の組み合わせを全通り作り、その中で最大の大きさの数を見つけてくる」みたいな。言語的なアプローチから作った人工的な巨大数。
定義が長すぎて読めないので人間には理解不可能
人間じゃない
ZZUncomputable計算不可能。BB(1,000) チューリング・マシンの限界。サイズの見積もりさえ不可能になる。生物じゃない

※なおここで出てくるシンボルωやεは、無限の階級を表す数学シンボルω、および到達不能無限を表すε=ωω...とは関係ありません
挙動が無限のω、εと非常に似てる所から命名されただけで、
このコンテキストではあくまで有限の数。
しかもω=64とかの比較的小さい数字です。

なーんでそんな小さいかっつーと、
ランクが1違うだけで大きさがとんでもなく跳ね上がるから
ω=64であろうがω=1,000,000であろうが
何をωに代入しても
ランク間の序列に変動はありません。

何でもいいなら、理解を簡単にするためω=64とかわかりやすい数値で考えてOKです。



1980年に
 「数学で(意味のある)一番大きな数」
として当時のギネス記録に載り有名になった
「グラハム数」はランク8ですね。

グラハム数が何なのか、どうやって構築するか、どれぐらいデカいのかについては
有名な定理なので他のサイトに解説を任せます。

例:ギネスブックに載った世界一大きな数がヤバすぎる


・・・・で、
そのグラハム数がここではランク8。(^^;

1980年当時にはチャンピオンだったけど
巨大有限数の研究が進むと
まだ上の領域がある事が発見され今じゃ序列12位です。


次回はグラハム数の住むランク8と
その一つ上の住人ランク9のサイズがどれぐらい違うかを具体的に解説。

ランク9の方が・・・ランク8なんかまるでお話にならないレベルで圧倒的に大きいです。(戦慄)