「数学コラム 「ヨコ×タテ」「タテ×ヨコ」で面積の変わる不思議な図形5 （2018/01/15)」
R2。つまり二次元平面を
A={ <xαxβ> : α,β∈ω1,α＞β}
B={ <xαxβ> : α,β∈ω1,α≦β}
としたとき、
Bは
こんな「テレビノイズ」な図形でした。
この時に任意のy'について、
区間H＝(x=0～1,y')ついてBに属する点は何個あるでしょうか。
y'は実数なので適当なβを取ればy'=xβ β≦ω0
とインデックス表示できます。
つまり
区間H＝(x=0～1,xβ)。
B={ <xα,xβ> : α,β∈ω1,α≦β}
だったので、
H区間でBに属する点の集合は
B∩γ={ <x=xα,y' (=xβ)> : α∈ω1,α≦β}
しかしα≦βなので、α≦ω0
だから
B∩H={ <x=xα,y'(= xβ)> : α≦β≦ω0}
つまりB∩Hは可算無限程度の個数しか点を持っていない。
ルベーグ積分のルール「可算無限程度の個数の点は0と数える」により
H区間に関するヨコ一次元面積
∫01 f(x,y')dx =0
となります。
y'は任意。つまりあらゆるyについて上記の式は成立します。
以上の論法により
「ヨコ×タテ」でBの面積を計算すると
∫01 ∫01 f(x,y)dx dy = ∫01 0 dy = 面積0
さて今度はタテを数えてみましょう。
B∩V={ <x=x'α,y> : α≦ω0,α≦β}
今度は条件が
α≦ω0、α≦β
であり、
ω0≦β
を満たすβは非可算無限ある。
ルベーグ積分のルール「非算無限の個数は有意義と数える」により、
V区間に関するタテ一次元面積
∫01 f(x,y')dy =1
よってタテ×ヨコで面積を数えると
∫01 ∫01 f(x,y)dy dx = ∫11 0 dx = 面積1
・・・証明終わり！
ふー、長かった^_^;
うーん、この論法は珍しいね。
面積に関する矛盾と言っちゃあ
選択公理を使うパターンが多いのですが。
これも選択公理使っていますが、
もっと本質的には連続体仮説、
つまり
α＜ω1
ならば自動的に
α≦ω0
が成立する。
それを使えば
実数の総数はω1だけど、
個々の点xを見てる瞬間には
x = xα α≦ω0
。ω0まではルベーグ積分の上では0になるので、
積分による面積の求め方は
「『一瞬のyの横幅』をy=0～1」まで積算した物。
『一瞬のyの横幅』＝0
さえ0にできれば
面積＝ヨコ×タテ＝0(ヨコ) × y=(0～1)(タテ) = 0
にできる。
図形の面積を測る時はタテ×ヨコ、またはヨコ×タテで「二段階に分けて計測しなければいけない」。
その際に生じる
0×残り＝0
1×残り＝1
みたいな、先頭の順番によって答えが入れ替わってしまう
定義の穴を巧みについてきました。^^;
いやあ。(^_^;
まるでコンピューターにおける
「セキュリティホール ＆ アタック」
というか。
まあよくもこんなアタック方法を考えつくものです。
＜この論文を最初に発表した人
なおルベーグ積分論的には
「面積とは、測り方に依存しない図形にのみ適用できる。」
として、こういう「タテ×ヨコ」、「ヨコ×タテ」で値が変わる異常な図形は
面積のアウトプットを受け付けないことで
矛盾の発生を回避してます。
んがっ！ルベーグさんもさすが。（￣□￣；）
こういう事態に備えてきちんと対策を用意してたのだ。
(コラム終わり)