「数学コラム 「ヨコ×タテ」「タテ×ヨコ」で面積の変わる不思議な図形4 (2018/01/08)」
さてR2。つまり二次元平面を
A={ <xαxβ> : α,β∈ω1,α>β}
B={ <xαxβ> : α,β∈ω1,α≦β}
とします。
この時に
A∪B = R2 (A or B=R2。つまりR2上の点はAかBのどちらかに属している。)
A∩B=0 (A and B=0。つまりAとBの共通要素はない)
が成立してるので、AとBはR2平面を綺麗に二分割しています。
Bが問題の「 『ヨコ×タテ』「タテ×ヨコ」で面積が変わる」図形です。
(証明は次回やります)
さてこのB。
実際どんな図形かと言うと・・・難解。(^^;
イメージとしてはテレビノイズがとても近い。
実際平面上の点(x,y)がBに属するかどうかは
ほぼ1/2のランダムになるので、
ランダムで構成されたテレビノイズとほぼ同じ見た目になるのは
ごく自然な現象です。
ただテレビノイズとの違いは、Bの成分/濃度が非常によく研究されてて
『ヨコ×タテ』でBの数を数え上げると面積が0、
『タテ×ヨコ』でBの数を数え上げると面積が1になる、
ものすごいヘンテコな性質を持つように、定義が構築されているんですね。^^;
次回そこを証明します。
(続く)