「数学コラム 「ヨコ×タテ」「タテ×ヨコ」で面積の変わる不思議な図形3 （2018/01/05)」
前回のノートで
R = 全ての実数の集合 ＝ {xα:α＜ω1}
と書けることがわかりました。
つまり
1 = x0
Π = x1
√2 = x2
0.7 = x3
....
のように、総ての実数には番号(もしくは序列)をつけて
リスティングが可能と言うことです。
もちろん実数の総数はω1＝非可算無限と膨大にあるので 自然数(1,2,3...)ではラベルが足りません。
そこで
√3 = xω0
のように、どこかでラベルにω0＝可算無限を導入しなければなりませんが。^^;
さて先程の例でしたが
1 = x0
Π = x1
√2 = x2
0.7 = x3
...
と割り当てていたように、この
「各実数 ←→ それに割当てられる番号」
は大きさの順とは全く関係ありません。
原理的に言えば
『適当な実数を一個つまみ、番号を割り当てる。』
この作業をω0＝無限の時間を使い、
ひたすら割り当てていけばリスティングはいつかは完了すると言うことです。
なので「実数 ←→ 番号」への変換はほぼランダムになります。
ま、番号は何でもいいんです。
重要なのはどのような実数でも、
「無限の待ち時間があれば、
いつかは呼ばれ、
呼び出し番号を振り当てられる時が来る」
と解釈しましょう。
なぜなら
R = 全ての実数の集合 ＝ {xα:α＜ω1}
と書いたよう、
α＜ω1
これは
α≦ω0 (＝可算無限)
と同等であるから。
だからαは可算無限の待ち時間があれば呼ぶことができるのである。
(ここでCH。Continuum Hypothesis。連続体公理を採用。
数学界では一般的にCHはありと考えられる。
その方が理論体系がシンプルなり、余計な手間が減るので。)
(続く)